1383

MAT3 160

Emad Kadhim Al-Lami

تعيين مولدهاي يكتاي كدهاي شبه دوري در فرم مدولي

دكتري

1404/06/05

59 p .

Dr. Reza Sobhani , Dr. Alireza Abdollahi

Dr. Javad Bagherian

حلقه چندجمله‌اي , حلقه خارج قسمت چندجمله‌اي , ماتريس توليدكننده , ماتريس بررسي زوجي , پايه مقسم‌ها , كدهاي A , كدهاي تقريباً چرخي

فرض كنيد q=p^r تواني از يك عدد اول، F_q ميدان متناهي از اندازه q و f(x) چندجمله اي تكين تحويل ناپذير در F_q [x] باشد. قراردهيد A≔(F_q [x])/(<‎f(x)‎>). يك –Aكد به طول l را به عنوان يك –Aزيرمدول A^l تعريف مي كنيم. در اين رساله، ما روي ساختار –Aكدها به طول l بحث مي كنيم. در واقع ما مطالعه كدها (كه توسط برگر و امراني شروع شده است) را ادامه مي دهيم. در حالتي كه f(x)=x^n-1، –Aكدها به طول l، با كلاسي از كدها كه به كدهاي شبه دوري انديس l به طول nl روي F_q معروف هستند، منطبق است. بنابراين، نتايج ما، در حالت خاص، كدهاي شبه دوري انديس l به طول nl روي F_q را رده بندي مي كند. در اين راستا، براي يك –Aكد، ما دو نوع از مجموعه هاي مولد يكتا، به نام هاي پايه شمارنده نوع I و پايه شمارنده نوع II، معرفي مي كنيم. با استفاده از اين، ما يك روش ساختن مبتني بر توسيع، براي بدست آوردن تمام –Aكدها به طول l به همراه پايه هاي شمارنده آنها، ارائه مي دهيم. ما رده بندي خود را براي حالتي كه l=2، كامل كرده و در حالتي كه f(x)=〖f_0 (x)〗^(p^t ) و f_0 (x) يك چندجمله اي تحويل ناپذير از درجه m روي F_q است، تعداد همه –Aكدها به طول 2 را مي شماريم. ما همچنين يك رده بندي جزئي براي حالت l=3 ارائه مي دهيم. به عنوان مثال، تمام كدهاي شبه دوري دودويي از انديس 2 به طول هاي 16و 32، و تمام كدهاي شبه دوري سه تايي از انديس 2 به طول هاي 6و 18 كه بهترزن كدهاي شناخته شده هستند، را ليست مي كنيم. هم چنين مثال هاي پراكنده اي از اين كدها را ارائه مي كنيم.

Let q = pr be a prime power, Fq be the finite field of order q an‎d f(x) be a monic polynomial in Fq[x]. Set A := Fq[x]/⟨f(x)⟩. An A-code of length l is defined to be a submodules of Al. In this thesis, we will discuss on the structure of A-codes of length l. In fact, we continue the study (started by T. P. Berger an‎d N. El Amrani) of A-codes. When f(x) = xn − 1, A-codes of length l coincides with the class of so-called index-l quasi-cyclic codes of length ln over Fq. Hence our results, in particular, classifies index-l quasi-cyclic codes of length ln. In this regard, we introduce two types of unique generating sets, called type I an‎d type II basis of divisors, for an A-code. Using this, we present a building-up construction so that one can obtain all distinct A-codes of length l, with their basis of divisors. We complete the classification for the special case l = 2 an‎d enumerate all the A-codes of length 2, when f(x) = f0(x)pt an‎d f0(x) is an irreducible polynomial of degree m over Fq. We also, present a partial classification for the case l = 3. As an example, we list all binary index-2 quasi-cyclic codes of lengths 16 an‎d 32, an‎d all ternary index-2 quasi-cyclic codes of lengths 6 an‎d 18, which are best-known codes. We also present some sporadic examples of these codes.

عماد اللامي

994035004

رياضي كاربردي

رياضي كاربردي و علوم كامپيوتر

142546

142547

6

142548

142549

142550

142551

142552

142553

142554

142555

142556

142557

Polynomial ring , Generator matrix , Parity check matrix , Basis of divisors , A-codes , Quasi-cyclic codes , Polynomial quotient ring