نقطه ثابت و دنباله نقطه ثابت تقريبي نگاشت هاي ناافزاي گسترش يافته

هدف ما در اين رساله, گسترش نظريه نقطه ثابت كلاسيك با معرفي و تحليل كلاس‌هايي بزرگتر از نگاشت‌هايي ناافزا است, كه ويژگي‌هاي مطلوبي مانند وجود نقطه ثابت يا دنباله‌ي نقطه‌ي ثابت تقريبي را حفظ مي‌كنند. با مروري جامع بر پژوهش‌هاي گذشته, به بررسي مسائل حل نشده و پيشرفت‌هاي اخير در اين زمينه مي‌پردازيم و بررسي مي‌كنيم كه چه كلاس‌هايي از نگاشت‌هاي ناافزاي گسترش يافته مي‌توانند به عنوان زير كلاسي از كلاس نگاشت‌هاي نوع-(DL) قرار گيرند. سپس با ارائه‌ي يك شرط لازم و كافي روي زير مجموعه‌ي ناتهي, محدب و فشرده‌ي ضعيف C از فضاي باناخ X, وجود نقطه ثابت را براي نگاشت‌ نوع-(DL), T:C -‎> X ثابت مي‌كنيم. همچنين كلاس نگاشت‌هاي نوع-(SDL) را معرفي مي‌كنيم و روابط بين كلاس‌هاي مختلفي از نگاشت‌هاي ناافزاي گسترش يافته‌ي تك مقداري و مجموعه مقدار را به طور سيستماتيك مورد مطالعه قرار مي‌دهيم و با ارائه‌ي يك مشخصه سازي روي فضاهاي باناخ با توجه به ويژگي نقطه ثابت براي نگاشت‌هاي ناافزاي گسترش يافته به ويژه نگاشت‌هاي نوع-(DL), نوع-(SDL) و نگاشت‌هاي ناافزاي مداري به سوال باز مطرح شده توسط فوستر 2016 در اين رابطه پاسخ مي‌دهيم. ما يك نمايش نموداري براي نشان دادن اين روابط نيز ارائه مي‌دهيم. در ادامه كلاس نگاشت‌هاي (alpha, beta)-ناافزاي گسترش يافته‌ي مجموعه مقدار را معرفي مي‌كنيم و به بررسي شرايطي كه تحت آن اين كلاس از نگاشت‌ها داراي نقطه ثابت و دنباله‌ي نقطه ثابت تقريبي هستند مي‌پردازيم و در نتيجه به سوال باز بنويدز و فوستر 2018 كه در رابطه با وجود دنباله‌ي نقطه ثابت تقريبي نگاشت‌هاي alpha-ناافزاي گسترش يافته مطرح شده‌ است, پاسخ مي‌دهيم. نتايج به‌دست‌آمده نه تنها چندين قضيه شناخته‌شده در نظريه نقطه ثابت را تعميم مي‌دهد، بلكه بينش‌هاي جديدي در مورد خواص هندسي فضاهاي باناخ كه وجود نقاط ثابت را تضمين مي‌كنند، ارائه مي‌دهد. در پايان كاربردها و پرسش‌هايي را براي تحقيقات آينده، به‌ويژه در آناليز تابعي غيرخطي و نظريه‌ي نقطه ثابت متريكي بيان مي‌كنيم.

Approximate fixed point sequence, Banach space, fixed point, Generalized nonexpansive mapping, Multivalued mapping, Nonexpansive mapping, Normal structure, Orbitally nonexpansive.

Fixed Point an‎d Approximate Fixed Point Sequence for Generalized Nonexpansive Mappings

رياضي

Our aim in this thesis is to extend classical fixed point theo‎ry by introducing an‎d analyzing larger classes of nonexpansiv mappings that retain desirable properties such as the existence of a fixed point o‎r an approximate fixed point sequence. We by the review past research, address unresolved issues, an‎d discuss recent advances in this field. We show what classes of generalized nonexpansive mapping are subclasses of the class of (DL)-type mappings. Then, by providing a necessary an‎d sufficient condition on a weakly compact, convex subset C of a Banach space X, we prove the existence of a fixed point fo‎r an (DL)-type mapping, T:C-‎> X. We also introduce the class of (SDL)-type mappings. We systematically study the relations between generalized nonexpansive mappings in the single-valued an‎d multivalued cases an‎d an‎d answer the open question posed by Fuster (2016) by presenting a characterization on Banach spaces with fixed point property fo‎r generalized nonexpansive mappings, especially maps of (DL)-type, (SDL)-type an‎d o‎rbitally nonexpansive mappings. Then, we present a diagram to illustrate these relations. We continue by introducing the class of multivalued generalized (alpha, beta)-nonexpansive mappings ​​an‎d establishing the conditions under which this class of mappings has a fixed point an‎d an approximate fixed point sequence. As a result, we answer the open question raised by Benavides an‎d Fuster (2018) regarding the existence of an approximate fixed point sequence fo‎r generalized (alpha)-nonexpansive mappings. The results obtained not only address several issues in generalizes the known fixed point theo‎ry, but also provides new insights into the geometric properties of Banach spaces that guarantee the existence of fixed points. Finally, we present applications an‎d directions fo‎r future research, especially in nonlinear function analysis an‎d metric fixed point theo‎ry.

4

حميدرضا حاجي شريفي

171063